つかえる英会話Daily / Travel

I was trying to get down the stairs quickly and I slipped and twisted my ankle.

"slip"は「（誤って、事故のため）何かの表面をつるつる滑る」という意味。ちなみに、日本語で「車がスリップする」と言うが、これに当たる英語は"skid"なので注意が必要です。また、"twist"は「ねじる、しぼる」という意味ですが、この場合の"twist"は足首をねじったということなので、「ねんざする」という意味になります。

ex) Be careful not to slip on the icy sidewalk.
（氷の張った歩道で滑って転ばないように注意しなさい）
He twisted his ankle.
（彼は足首をねんざした）

Ouch!

Ouch!
「アウチッ！」
ex) Ouch. It hurts!
（おお痛い！）

The reason I didn't wake up on time was because the batteries in my alarm clock died last night.

"battery"（電池）が"died"（死んだ）ということで、「電池が切れる」という意味になります。
ex) The batteries are dead.
（電池が切れている）
work on (by) batteries
（[機械などが]電池で働く）

My foot was killing me.

この場合の"kill"は口語で「（患部などが）ひどい苦痛を与える」という意味です。