つかえる英会話Daily / Travel

She says she's just back on a flying visit to visit her parents.

「両親に会うためにちょっと戻ったんだって。」
"flying"には「大急ぎの、一時の」という意味があり、"flying visit"で、「一時的な訪問」となります。同じ意味の表現で"quick visit,"、"short stay" もあります。
ex: We made a flying visit to the United States.
（私たちはアメリカにちょこっと行ってきた）

she had two toddlers in tow

「ヨチヨチ歩きの子を2人連れてたよ」
"toddlers"は「幼児、ヨチヨチ歩きの子供」。"tow"は「ロープでひく（こと）」という意味で、in tow だと「従えて、世話をして」となります。

They're the spitting image of her!

「彼女にそっくりだよ!」
"spitting image of 〜"は、「〜にそっくり」。"spit"には「生き写し」という意味があり"be the spit and image of"ということも出来ます。
ex: I am the spitting image of my father.
（私はお父さんにそっくりだ）

You used to have a thing for her, didn't you?

「あなたは彼女のことが好きだったのよね？」
"have a thing for 〜"は、「〜(人)が好き」ということ。「〜に対してある物を持っている」ということでちょっと詩的な表現ですね。"have a soft spot for," "be keen on," "fancy," "be attracted to" なども同じ意味です。