つかえる英会話Daily / Travel

How's everything going?

（そちらはいかがですか？全てはうまくいっていますか？）
How are you?　の別の言い方。「もろもろ順調ですか」と聞きたい時に使います。

The reason I called you today is to ask you if it would be possible to reschedule tomorrow's meeting.

（今日お電話しましたのは、明日のミーティングの日程を変更していただけないかと思いまして。）
「今日お電話したのは…」と目的を話したい時にいつでも使える表現がThe reason I called you today isです。if it is possible to…と言うよりも今回のようにif it would be possible to…と聞いた方がよりていねいですね。

I'm terribly sorry and I know this is such short notice, but something has come up, and I can no longer make it tomorrow.

（こんな直前にたいへん申し訳ないのですが、ちょっと困ったことが起きまして、明日は伺えそうにないんです。）
まず、terribly sorryは「たいへん申し訳ない」。terriblyのかわりにawfully/deeply/truly/very/reallyも使えます。short noticeは「直前・突然の知らせ」のこと。「急に知らされた」ならwas/were told on short noticeとなります。
Ex) I was told about it on very short notice.
　（そのことについては急きょ知らされたのです。）
something has come upのsomethingは「（とある）困ったこと」。can no longer make itで「約束を果たせなくなった」。

That would be wonderful.

（そうしてくださればたいへん助かります。）
相手が言ったことに賛同を示す表現には色々ありますが、日常会話では今回のように「そうしてくれれば…」とwouldを使う（仮定法的に答える）ことが非常に多いですね。wonderfulのかわりにlovely/perfect/excellent/great/marvelous/brilliantなどが使えます。

I appreciate it.

（感謝します。）
アメリカ人がthank youのかわりに好んで使うのがI appreciate itです。

the other day

（先日）
「この間」「先日」は全てthe other dayです。余談ですが、日常会話では「おととい」「あさって」にあたる英語はあまり使いません。今日が水曜日だとしたら、「おととい」はMonday、「あさって」はFridayと言うことが多いです。