つかえる英会話Daily / Travel

I was only tipsy.

（僕はほんのほろ酔い程度だったよ。）
tipsyは「ほろ酔いの、千鳥足の」という意味。ちなみに、アメリカにはtipsy cakeというサバランに似たお菓子があります。パウンドケーキをお酒に浸したもので、これを食べると千鳥足になってしまう、というところからそう呼ばれているようです。

Or it could be that you don't remember it because you were gone.

（あるいは、酔っぱらってたから覚えてないとか。）
goneは「酔っぱらった」という意味。日本語の「行っちゃってる」に近い感覚ですね。It could be that…は「…という可能性もある」。

Seriously, I was pretty sober.

（本当にさ、僕はけっこうしらふだったんだよ。）
soberは「しらふ」。文脈によってはclear-headedも「しらふ」の意味になります。次の2文を比較してみて下さい。
Ex) All my friends were drunk, but I was clear-headed.
　（友だちは皆酔ってたけど、僕はしらふだった。）
　　I stayed up all night working, but I was clear-headed next day.
　（仕事で徹夜したけれど、次の日は頭がさえていた。）

I bet he has a terrible hangover.

（きっとひどい二日酔いだと思うよ。）
hangoverは「二日酔い」。ちなみに、「（二日酔いの後で）迎え酒をする」はhave a hair of the dogと言います。狂犬にかまれたら、その犬の毛をとって傷の部分につけてやると治る、という迷信からこのように言うそうです。