つかえる英会話Daily / Travel

how much would you like to exchange?

"exchange"は「（他のものと）交換する」「（他の通貨に）両替する」の意味。量をたずねるときに、"How many/much〜？"が使われますが、"much"は単数名詞（そのままの形では数えられないもの、複数形がないもの→例： water, money）、"many"は複数名詞（数えられるもの→ 例： eggs, children）で使い分けます。

Let me see

"let"は「（人・物などに）〜させて下さい」の意味。"let me see..."で「ええと・・・」というニュアンスになります。言葉に詰まったときや考えるとき使うフレーズです。
ex) Let me go!
（離してよ！　；直訳→行かせてよ！）
Let it be.
（そのことで心配するな　；直訳→それを放っておいてください）
Let me do it.
（私にやらせて）

at our rate today, that will be 26,000 yen.

"rate"は「相場」または「（一定の率に基づいた）料金、値段」の意味です。
ex) a rate of exchange
（為替相場）
at a high rate
（高価で）
give special rates
（割り引きする）

So, that works out to be 230 dollars, and 77cents.

"work out"は「（合計を）算出する」の意味。