つかえる英会話Daily / Travel

What's that to do with you?

（それがケンと何の関係があるの？）
What has that to do with you?の省略形です。have (a lot) to do with …で「…と（多いに）関係がある」という意味。以下のような使い方もよくします。
Ex) It's nothing to do with you.
　（あなたには関係ないわ。）
　　The result has got a lot to do with his effort.
　（このような結果が出たのは多分に彼の努力のおかげだ。）

One of the things I've been dying to do was to watch The Lion King at Broadway.

（絶対やりたかったことのひとつに、ブロードウェーで「ライオンキング」を見るっていうのがあったんだ。）
be dying to …は「死ぬほど…したい」「是が非でも…したい」という意味です。かなりカジュアルな表現ですし、「死ぬ」という言葉を使っているので使うのがはばかられる、という人はhave an itch to…を使ってみてください。
Ex) I have an itch to watch the musical.
　（そのミュージカルをどうしても見たいんだ。）

And it's listed among the several productions that have been shuttered…Just my luck!

（（ライオンキング）は興行中止の演目になってるんだよ…ついてないよ！）
shutterは「シャッターを閉める」というところから転じて「興行中止にする」という意味。Just my luck!の文字通りの意味は「私ってついてる！」ということですが、普通は今回のように反語的に用います。

I'm too shattered to think about any other alternatives.

（ショックで他の選択肢なんて考えられないよ。）
shatterのもともとの意味は「粉々にする」ということ。そこから転じてshatteredは「（粉々にされるほど）がっくり来る、ショックを受ける」となります。先ほど出てきたshutteredとスペル／発音を混同しないでくださいね。

I'll keep my fingers crossed.

（うまくいくように祈ってるわ。）
keep one's fingers crossedは文字通り「中指と人差し指を十字に交差させる」こと（昔懐かしい「エンガチョ」の指、と言えばおわかりになる方もあるでしょうか…）で、こうすることが「幸運を祈る」ことになるのです。現に、今回のようなセリフを言う時に同時にジェスチャーで（両方の）指を交差させることも珍しくありません。