つかえる英会話Daily / Travel

The bottom line is that I can work at home so that I can take care of my daughter.

（押さえておきたい点としては、娘の面倒が見られるように在宅で仕事ができれば、ということです。）
bottom lineには「結論」という意味と「肝心な点」という意味があります。会話は後者の意味で使っていますが、「結論」という意味では以下の例のように使います。
Ex) The bottom line is this.
　（結論はこうです。）
　　The bottom line is that I don't like this.
　（要は，これが好きじゃないということだ。）

PR is more like an outgoing task.

（PRはどちらかと言うと外に出る仕事ですからね。）
この場合のoutgoingは「積極的」という意味ではなく，go out（外出）するという意味です。

So which do you prioritize, work or mothering?

（それで、仕事と母親業とどちらを優先させるのですか？）
prioritizeは「〜を優先させる」という動詞で、priority（プライオリティー）から派生しています。「AよりもBを優先させる」という場合にはprioritize B over Aと言います。
Ex) I prioritize work over private life.
　（私は私生活よりも仕事を優先させる。）

But again, honestly speaking, I don't think I'd survive any corporate job for another few years.

（でも先ほども言ったように，正直なところ、これから先数年は勤めの仕事は私には無理だと思うんです。）
こういう場合のagainは「繰り返すと」という意味。surviveには「生き延びる」（「サバイバル」的な意味）もありますが、通常はむしろ今回のように「乗り切る」という意味で使うことの方が多いです。目的語をとらずに自動詞として使うと「なんとかやっていく」という意味にもなります。
Ex) I went to a boys' school. ---Wow, how did you survive?
　（僕は男子校だったんだ。---すごいね、どうやって（女の子なしに）やってけたんだ？）
corporate jobは「企業での職、勤め」。

You don't need to give No.1 priority to your work…

（仕事を最優先させる必要はありませんよ…）
priorityは「優先事項」のことですから、それにNo.1がつくと「最優先事項」となります。priority No.1という具合にNo.1を後に持ってくる言い方もあります。
Ex) My children are priority No.1.
　（子どもたちが最優先だ。）