女性の英会話劇場Woman's Story

I went to my parents' place, after a long while.

(久しぶりに実家に行ったのよ。

after a long whileは「久しぶりに」。after (a) long absenceという言い方もありますが、こちらはどちらかというと「長いブランクの末」というニュアンスが強いです。one's parent's placeは「実家」。placeは「(誰々の)家、店、レストラン」など、広範囲に使える便利な言葉です。
Ex) Why don't you come to my place after dinner?
　(夕食後に僕の家に来ないか?)
　　I went to a Japanese place for lunch.
　(お昼に和食屋さんに行ったわ。)

My dad is a full 4 years older than my mom, but he looked weighed down with age.

(父は母より丸4年年上なんだけど、年で弱っちゃったみたいで。)

a full 4 years olderの前になぜaがつくの?と疑問に思った人も多いのではないでしょうか。英語には、ある一定の数値をひとつのまとまり(今回の場合なら4 years)として見る時、aをつけて表現するという性質があります。「あと○分」などと言う場合に other … minutesとは言わずにanother … minutesというのに共通した理屈ですね。でも理屈はさておき、今回はとりあえず「丸○年」などと言う場合にはそれが複数であってもaをつけるということを覚えてしまってください。
weighed down withは「…の重みで垂れ下がっている」ということですが、weighed down with ageと言えば「年齢で皮膚が垂れ下がっている」ということではなく、「年のせいで弱る」という意味になります。

My mom looked ever so healthy and energetic.

(母はめちゃくちゃ健康で生き生きしてたの。)

ever soはveryをさらに強調したような意味で「めちゃくちゃ」に近いです。

I wondered if marrying an older man proves good for any woman…in the long run.

(年上の男性と結婚することって女にとっていいことなのかなぁ、と思ってね…長い目で見ると。)

in the long runは「長い目で見ると、最終的には」という意味。同じような表現にat the end of the dayがあります。以下の例でそのニュアンスの差を感じ取ってください
。
Ex) At the end of the day, she'll get what she wants.
　(結局は彼女は自分の欲しい物を手に入れるのよ。)
　　I've achieved many business successes, but am I really happy at the en of the day?
　(私はビジネスで色々成功したけれど、でも結局のところ、私は本当に幸せなのだろうか?)