女性の英会話劇場Woman's Story

You're Taurus, right?

(あなたは牡牛座よね?)

なにげに知らない、星座。あなたは12星座全部わかりますか:Aries(牡羊), Taurus(牡牛), Cancer(蟹), Virgo(乙女), Libra(天秤), Scorpius(蠍), Sagittarius(射手), Capricorn(山羊), Aquarius(水瓶), Pisces(魚)。
最後のright?は事実確認をするための「よね?」にあたります。

It says I'll have to be careful about my health.

(健康に気をつけろって書いてある。)

雑誌や本、インターネットなどに「〜って書いてある」といいたい場合には、It says…を使います。文脈でItが何を指すか(今回の場合は雑誌の星占い)がわかっているからItを使えるのですね。It reads/writesとは言いません。

It looks like I'll meet someone who will remain very important for the rest of my life.

(残りの人生においてとても重要であり続ける誰かに出会うみたいよ。)

It looks likeは「〜みたいだ」。It seemsと意味は同じですが、It looks likeの方がくだけた感じがするので会話ではよく登場します。

What's that supposed to mean?

(それってどういう意味?)

What's that mean?も「それってどういう意味?」ですが、What's that supposed to mean?と言った方が「ちょっと待ってよ、一体どういう意味よ?」と、話し手の驚き/疑問/怒りを表現できます。be supposed to(〜することになっている)を入れることで、このようにニュアンスを変えることができるのです。以下の2文を比較してみてください。
Ex) What do I do with this money?
　(このお金で何をすればいいの?)
　　What am I supposed to do with this money?
　(私にこのお金で一体何をしろっていうの?)

Hang on.

(待って。)

「待って」には他にも、wait/wait a minute/hold on/just a second/one secondなどがあります。

Now I remember my parents' 30th anniversary is coming up.

(うちの両親の結婚30周年の記念日がもうすぐだったんだわ。)

rememberは見た目以上にやっかいな言葉です。「思い出す」、「覚えている」、両方の意味がありますね。
Ex) You remembered my birthday! Thank you!
　(私の誕生日を覚えていてくれたのね!ありがとう!)
　　I was just remembering what my mom used to say.
　(母が昔言っていたことを思い出そうとしていたの。)

is coming upは「〜がもうすぐやってくる」。ちなみに、is coming up rosesは「うまくいく」という意味です。
Ex) Everything is coming up roses.
　(全て順調よ。)

Sharing a life with one man for 30 years---hey, that IS something!

(一人の男性と30年も人生を共にするなんて…ねえ、それってすごいことだわ!)

こういう場合のsomethingは「たいしたこと」という意味。「ほんとにすごいこと」と言いたいのならquite somethingと言えます。