女性の英会話劇場Woman's Story

I got an invite for a party…

(パーティーに招かれてね…)

inviteは名詞形だと「招待」という意味になります。anがつくことに注意。

What makes you so reluctant anyway?

(なんでそんなにそもそも行きたくないの?)

Why are you so reluctant anyway?と言っても同じ意味になるのですが,what makes you…と無生物主語の質問文にするとぐっと英語らしくなります。Why did you come to Japan?と聞くかわりにWhat brought you to Japan?(いずれも「なぜ日本に来たのですか」)と聞くとぐっとしまる、というのと同じです。

She's nice all right.

(たしかに良い子なんだけど。)

こういう場合のall rightは「たしかに、絶対に」といった意味で,カジュアルな会話でのみ使われます。I'm sure she's nice.と言っているのと同じ意味になります。
Ex) There was a guy standing in front of my house, and it was Tom all right.
　(私の家の前に男の人が立っててね、それって絶対にトムだったわ。)

There's something about her I can't bring myself to like.

(私はどうも好きになれない何かを感じるのよね。)

cannot bring oneself to …は「…する気にどうしてもなれない」。
Ex) I can't bring myself to talk to him.
　(どうしても彼と話す気になれないの。)

My mother got sick and I need to take care of her.

(母が病気になったので看病しなくちゃいけないんです。)

ありがちな、もしかしたらウソ見え見えの言い訳です。急な悪天候で出かけたくなくなった、なんて時には例えば、Because of the heavy rain, I need to go and pick up my children.(このひどい雨で、子どもたちを迎えに行ってやらなくちゃいけないんです。)なんていうのもアリ、ですね。

I have a terrible cold and I really want to go but the doctor says I shouldn't go out.

(ひどい風邪をひいてしまってうかがいたいんだけれどお医者様が外出はダメだって言うものだから。)

これもありがちな言い訳、です。doctorにtheがつくことに注意。

I have a prior engagement. Sorry I forgot to tell you.

(先約があるんです。お伝えするのを忘れてしまって)

I have a prior engagement.は覚えておくと便利です。何か誘われた時にビジネスライクに断るならこれがいちばん。「先約」が何か、をいう必要はありません。

“I'm awfully…oops, would it be better to say ‘truly' or ‘deeply'…sorry”.

(「非常に…いやいや、それよりも『本当に』とか『深く』おわびします」かな)

sorryと一緒に使う副詞としてはterribly, very, awfullyなどが日常会話ではよく使われます。一方、truly, deeplyはそこまで頻繁には使われないのでより深刻な響きがするのです。

I must apologize that I can no longer make it tonight. Please send my best wishes to everyone, would you?

(今晩はうかがえなくなってしまって申し訳ございません。皆さんにくれぐれもよろしくっておっしゃっていただけますか?)

丁寧に断るときはI must apologizeあるいはI apologize…がおすすめ。単にMy apologies!(申し訳ない!)と言ってもいいです。send my best wishes/regardsと言って他の人への配慮も忘れずに。