女性の英会話劇場Woman's Story

Why is that?

(どうして?)

もちろんWhy?だけでもいいのですが、相手が何か言ったことを全て受けて「それってどうして?」と聞きたい時はWhy is that?と言えます。

What do you think they seek in women?

(彼らが女性に何を求めるんだと思う? )

seekは「探し求める」という意味。今回の文の場合、wantを代わりに使ってもいいのですが、wantだと「欲する」という意味となり、「探す」という意味合いはほとんどなくなってしまいますね。

womanly

(女性らしい)

「女性らしい」はwomanly、「男性らしい」はmanlyですが、注意したいのは「子どもらしい」という場合にはchildlikeとなること。childishは「子どもっぽい、幼稚な」という悪い意味になってしまいます。

Which is…?

(それって…?)

whichはご存知のように関係代名詞なので、何か先行詞(whichが指し示すもの)が普通あるのですが、会話ではこのように、自分あるいは相手がいったこと全てを受けて、「それってすなわち…」という具合に、いきなり文頭にwhichを持ってくることができます。
Ex) I saw him yesterday. Which was a great surprise, you know.
　(昨日彼に会ったのよ。それ自体すごい驚きなんだけどね、わかると思うけど。)

I don't mean to call myself a feminist, but I just can't accept the idea that women have to play second fiddle to men!

(私,時分をフェミニストだって言うつもりはないけど、でも女性が男性の下に位置するって言う考えは受け入れられないわ!)

日本語で「フェミニスト」と言うと「女性を思いやる紳士然とした男性」という意味がありますが,英語でfeministと言った場合は100%「女性権論者」のことを指します。
play second fiddle (to) は「(誰々に)従属する、補佐役をつとめる」という意味です。fiddleとはバイオリンのことで、もともとは「(オーケストラなどで)第二バイオリンをつとめる」というところから来ている表現です。